La magia y las matemáticas

Ignacio Barradas

Foto: Eduardo de la Vega

Cuando pensamos en magia se nos ocurre evocar a algún mago famoso de nuestros días o de otras épocas. Pero si además escuchamos la palabra matemáticas, parecería que algo anda mal o que se trata simplemente de un truco de números aburrido y difícil de entender. Nada más alejado de la realidad.

A lo largo de la historia ha habido personajes que han pasado a la fama por sus hazañas y conquistas, como es el caso de Alejandro Magno o Atila. Otras personas dejaron obras monumentales por las que las recordamos; basta pensar en el faraón egipcio Keops, quien mandó construir la gran pirámide hace casi 4500 años y que aún admiramos hoy en día. Hay otros personajes, como Rasputín o el mago Merlín, cuya fama descansa más bien en el misterio que representan, sea éste por sus habilidades propias o por el secreto en que la historia misma los ha envuelto. El primero es famoso además de sus intervenciones en asuntos de política rusa, por el gran enigma que representaba su persona y sus habilidades casi mágicas para sobrevivir a los ataques de sus adversarios. El segundo, por haber sido mago, es decir, por haber hecho cosas que otros no sabían o no podían explicar cómo o por qué pasaban. La magia es tan atractiva al ser humano que es difícil encontrar a alguien a quien no le guste ver un buen truco. Un buen mago siempre incluye en su repertorio cantidad de trucos basados en matemáticas, pues la magia trata de presentar cosas simples de manera que parezcan muy complicadas, de hecho mágicas. Las matemáticas, por su naturaleza, se adecuan especialmente para ello ¿Qué tienen que ver las matemáticas y la magia? ¡Muchísimo!, pues en matemáticas se cuenta con una gran cantidad de conocimientos que, si otra persona no sabe que los estamos usando, lograremos sorprenderla. Veamos un ejemplo, pero no sin advertir que, aunque aquí revelemos el secreto más adelante, esto es algo que no debe hacerse durante una presentación de un truco. Presentar un truco y decir cómo funciona es quitarle el encanto. Hay que dejar que la magia viva por sí sola, nunca expliques un truco después de presentarlo.

La magia del nueve

Piensa un número, el que te guste, y súmale 6. Al resultado multiplícalo por 9 y réstale 5. Suma entre sí las cifras del número resultante. Si por ejemplo obtuviste el 167, obtendrías 1 + 6 + 7, es decir, 14. Si el número que obtienes es más grande que 9, como el 14 en nuestro ejemplo, vuelve a sumar entre sí los dígitos del nuevo número tantas veces como sea necesario para obtener como resultado algo entre 1 y 9. En nuestro ejemplo se habría continuado con 1 + 4 = 5, para llegar finalmente al 5. Al número que obtuviste en tus cuentas después de la reducción, asóciale la letra correspondiente del alfabeto de acuerdo a la lista siguiente: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D, 5- E, 6-F, 7-G, 8-H y 9-I. Piensa ahora en el país que quieras cuyo nombre inicie con esa letra (no se valen países imaginarios ni estados de la República). Una vez elegido el país, toma su segunda letra y piensa en el animal que quieras cuyo nombre inicie con esa letra (no se valen animales imaginarios o prehistóricos). Ahora toma la tercera letra del animal y piensa en una fruta cuyo nombre empiece con esa letra.

Pues bien, las instrucciones de nuestro truco de magia han terminado y lamento decirte que ya perdiste, pues en Dinamarca ni hay iguanas ni las iguanas comen uvas.

Es muy probable, si pensaste en Dinamarca, iguana y uvas, que estés sorprendido. ¿Cómo es posible que haya sabido de antemano que llegarías a ese resultado si en muchos de los pasos intermedios tuviste la posibilidad de tomar elecciones arbitrarias? Acabamos de hacer un truco de magia y lo que lo hace funcionar es un resultado muy simple en matemáticas, se trata de la llamada regla del 9. Tenemos entonces un ejemplo de cómo hacer magia usando matemáticas. Si el truco te gustó, puedes ver ahora la explicación matemática del principio sobre el que descansa.

La regla del nueve nos garantiza que las operaciones involucradas no son relevantes; es decir, siempre se llega al mismo resultado, o sea, al 4. Esto lo explicaremos un poco más adelante. Una vez habiendo obtenido 4 como resultado, se agregan unas peculiaridades de nuestro idioma, por ejemplo que hay muy pocos países con D y que casi nadie se acuerda de Dominica o Djibouti (además de que Dahomei cambió su nombre hace muchos años por el de Benin). Aunque hay varios animales con I, en la mayoría de los casos la gente no piensa en el impala o el ibis. Si conoces una fruta además de la uva cuyo nombre inicie con u te agradeceré me lo hagas saber. Es por esto que la mayoría de la gente pensará en lo mismo y, aunque parecía haber habido elecciones que hacer, en realidad estaba todo preparado para que casi todos pensaran igual. Esto, claro está, si explicamos por qué a todos les salió el número 4 después de hacer sus operaciones. Para ello recordaremos que la llamada regla del nueve, la cual por cierto se utiliza algunas veces para verificar el resultado de las multiplicaciones, afirma lo siguiente: el residuo que un número deja al dividirlo entre nueve es el mismo que dejan la suma de sus dígitos. Por ejemplo, si tomamos el 362, al dividirlo entre nueve, el residuo es 2, pues 362 = 9 x 40 + 2. De la misma manera 3 + 6 + 2 = 11 o si se quiere 1 + 1, dejan también el residuo 2 al dividirlos entre 9. Así pues, volviendo a nuestro truco de magia, al haber elegido cualquier número y sumarle 6 (o lo que hubiera sido) no se tiene aún nada interesante, pero al multiplicarlo por 9, ya se tiene la seguridad de que la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9 (¡verifícalo en tu ejemplo!). Pero recuerda que antes de tomar la suma de los dígitos y hacer la reducción correspondiente dijimos que había que restarle 5. Al hacerlo garantizamos que la suma de los dígitos del número obtenido, y por lo tanto el resultado final también, dejará un residuo de 4 al dividirlo entre 9. Es decir, nuestro proceso de reducción al final de las operaciones terminará siempre con el número 4 y no hay otra posibilidad.

Juguemos cartas

Presentemos ahora un truco de magia con matemáticas que involucre cartas. A casi todos nos gusta jugar en alguna ocasión a las cartas; sin embargo, poca gente se fija con cuidado en ciertas características de ellas que las hacen susceptibles de presentar juegos en forma espectacular. Toma por ejemplo un juego completo de cartas, sin comodines. Deben ser 52 piezas, aunque poca gente lo sabe, y esto es justamente parte del secreto. Separa 12 de ellas y de ahí elige las cuatro que más te gusten para hacer el truco. Las cartas restantes las colocas abajo del montón grande. Cuida de no ponerlas arriba, eso es importante.

Después de haber elegido tus cuatro cartas, ponlas boca arriba en la mesa, es decir, de manera que puedas ver las figuras. Ahora el siguiente paso será completar del montón grande tantas cartas sobre cada una de ellas como sea necesario para llegar a 10. Así, por ejemplo, si se tiene un 6, se completan 4 cartas (de preferencia contando 7, 8, 9 y 10, para distraer la atención de que 6 y 4 suman 10, más adelante veremos por qué). Se procede así con cada una de las cuatro cartas. Si por alguna razón entre las cartas elegidas había una figura, simplemente se decide cuánto se quiere que valga esa figura, cualquier cosa entre 1 y 10. Después se suma el valor de las cuatro cartas originales (nótese que su elección fue arbitraria y que no hay manera de saber cuánto sumarían). El truco consiste ahora en que si hubiera tenido las cartas en mis manos, te podría decir qué carta se encuentra en la posición del número que suman las cuatro cartas abiertas. Nota que no parece haber manera de saber cuál será, pues las elecciones fueron arbitrarias, pero con algo de poderes mágicos (es decir conocimientos matemáticos) uno será capaz de lograrlo.

¿Quieres saber cómo podrías hacer el truco para tus amigos? La respuesta es, la carta que está en la posición buscada es la que se encontraba abajo del montón después de haber quitado las 12 de donde se eligieron las cuatro cartas con las que se hace el truco. Así, lo que hay que hacer para ejecutar el truco, es mirar discretamente abajo del montón al principio o mientras la persona está distraída eligiendo sus cuatro cartas consentidas.

Si éstas seguro de cuál es la forma en la que se presenta el truco, volvamos ahora a revisar la matemática del asunto. Si no es así, lee de nuevo el párrafo anterior para entender la mecánica antes de complicar con la matemática.

Mencionamo s anteriormente que el juego de cartas consta de 52 piezas, de modo que, al darle a la persona 12 y mirar la de hasta abajo, estamos viendo la carta número 40. Si se sigue el procedimiento descrito, siempre se llegará a la carta 40. La aparente paradoja de que hubo una elección de cartas durante el proceso se explica de la siguiente manera: cada carta elegida de entre las 12 ofrecidas al inicio afecta a las que saquemos después del montón de dos maneras; la primera forma es completando hasta 10, es decir contando 10 – x, si x era la cantidad que aparecía en la carta. La otra manera en la que la carta afecta es que al final se suman los valores de las cartas que se tenían, es decir se suma el valor de x. Tomando ambos efectos, pero ahora vistos juntos, tenemos que el total de cartas del montón que se retiran por causa de la carta x es 10 – x + x que es igual a 10. Podemos entonces ver que por cada una de las cuatro cartas involucradas (llamémoslas w, x, y, z) se tendrán que sacar del montón (10 – w) + (10 – x) + (10 – y) + (1 0 – z) + w + x + y + z cartas, ¡lo que siempre da como resultado 40! Muy simple, ¿no crees?

La magia del sistema Decimal

Si bien al presentar el siguiente truco a alguien, no hay por qué mencionar el sistema decimal, para que se entienda mejor empezaré explicando cuál es el principio sobre el que descansa. Al hacer la presentación, todo esto deberá ser omitido.

Imagínate que le dices a alguien: "Piensa el número que quieras, y multiplícalo por 100. Ahora si me dices el resultado, te adivino qué número pensaste". Seguramente, tu interlocutor te dirá que no tiene gracia, pues el resultado será el mismo número que se pensó, con dos ceros al final. Aunque parezca muy simple, éste es el principio que usaremos, sólo que disfrazado. Las instrucciones que se le deben dar a la persona para hacer el truco son las siguientes: "Toma el número que quieras; multiplícalo por 2; súmale 5; multiplica el resultado por 100 (es decir, aumenta dos ceros); finalmente divide el resultado entre 2, (se sugiere este paso para que haya al menos una división; si se prefiere, se puede juntar este paso y el anterior y decir solamente "multiplica por 50"); resta al resultado los días de un año (es decir 365, o bien, 366 si es bisiesto); al resultado súmale tu edad (o la edad de otra persona, o bien, algún otro numero menor que 100 que te guste), y dime el resultado".

Una vez teniendo el resultado, sumamos (de preferencia mentalmente) lo más rápidamente posible 115 (116, si es un año bisiesto) al número que nos dijo. La cifra que obtenemos está formada por los dos números que la persona pensó, de la siguiente manera: el segundo número está formado por las últimas dos cifras de la derecha, y el primero por las cifras restantes. Por ejemplo, si el resultado que nos da es 1426, los números involucrados fueron 14 y 26.

Para entender esto, sólo tenemos que hacer uso de nuestros conocimientos ( mágicos) de álgebra. Repitamos las instrucciones descritas arriba, pero ahora llamando "a" al primer número que se pensó y "b" al segundo. Las instrucciones se traducen así:

a,

2a,

2a + 5,

100 (2a + 5) = 200a + 500,

100a + 250, 100a – 115,

100a – 115 + b.

Si es éste el número que nos dieron y le sumamos 115 obtenemos 100a + b, pero habíamos dicho que 100a es lo mismo que el número "a" con dos ceros al final. Y si a eso le sumamos un número menor que 100, obtenemos un número cuyas cifras son las de los números "a" y "b" pegadas.

No hay que perder de vista que lo que hemos hecho es tomar una regla simple, descrita al principio, y la hemos enmascarado con muchas distracciones. Eso es muy importante en la presentación de cualquier truco. Hay que hablar de muchas otras cosas durante la presentación para que la persona no sospeche dónde está el truco. Tampoco hay que olvidar que estos trucos son sólo unos ejemplos de lo mucho que se puede hacer con matemáticas. De la misma manera que se inventaron estos trucos, se pueden inventar muchos más. Lo que se necesita hacer es encontrar un principio matemático y esconderlo en una serie de instrucciones donde ya no se sospeche su existencia.

Hemos visto que las matemáticas son mágicas en el sentido de que, si las entendemos, son muy simples, pero si no las entendemos o no nos podemos imaginar cómo están involucradas en algún proceso, pueden parecer muy complicadas. Lo que si es mágico es que el intelecto humano sea capaz de plasmar ideas en forma matemática y así describir y entender mejor el universo en el que vivimos.